Som derivatan av cosinus utsignal

Derivatan av cosinus liknar derivatan av sinus grundval av bevis - definition av gränsfunktionen. Det är möjligt att använda en annan metod som använder trigonometriska formler för drivning av sinus och cosinus vinklar. Express en funktion efter den andra - genom en sinus cosinus, sinus och differentiera komplexa argument.

Överväga det första exemplet på utsignalen från formeln (Cos (x)) '

Ge försumbar inkrement Ah argument x av y = cos (x). Om det nya värdet på argumentet x + Ah erhålla ett nytt värde Cos funktion (x + Ah). Sedan inkrementera Au funktion kommer att vara lika med cos (x + Ax) -cos (x).
Förhållandet mellan inkrement funktion kommer att vara en sådan Ah: (Cos (x + Ax) -cos (x)) / Ah. Rita identitets transformationer erhållna i täljaren i bråket. Recall formeln skillnads cosinus, är resultatet en arbets -2Sin (Ah / 2) multiplicerad med sin (x + Ah / 2). Vi finner gränsen lim privata denna produkt genom Ah när Ah går mot noll. Det är känt att den första (kallas anmärkningsvärd) gräns lim (Sin (Ah / 2) / (Ah / 2)) är lika med 1, och begränsa -sin (x + Ah / 2) är lika -sin (x) då Ax, som tenderar att noll.
Vi skriver resultatet: derivatet (Cos (x)) är - Sin (x).

Vissa föredrar den andra metoden att härleda samma formel

Känd från trigonometri: Cos (x) är lika Sin (0,5 · Π-x) på liknande sätt Sin (x) är Cos (0,5 · Π-x). Sedan differentierbar komplex funktion - sinus för en ytterligare vinkel (istället X cosinus).
Vi erhålla produkten Cos (0,5 · Π-x) · (0,5 · Π-x)', eftersom derivatan av sinus cosinus av x är x. Åtkomst av en andra formel Sin (x) = cos (0,5 · Π-x) ersätta cosinus- och sinus, anser att (0,5 · Π-x) = -1. Nu får vi -sin (x).
Så, ta derivatan av cosinus Vi = -sin (x) för funktionen y = Cos (x).

Derivatan av cosinus kvadrat

En ofta använd exempel används där derivatan av cosinus. Funktionen y = Cos ² (x) komplex. Vi finner den första differentialeffekt funktion med exponenten 2, är att två · cos (x), då den multipliceras med derivatan (Cos (x))', som är lika -sin (x). Erhålla y '= -2 • cos (x) • sin (x). När tillämpligt Sin formeln (2 · x), sinus för dubbla vinkeln, erhålla den slutliga Förenklad
svar y '= -sin (2 · x)

hyperboliska funktioner

Tillämpat på studier av många tekniska discipliner i matematik, till exempel, gör det lättare att beräkna integraler, lösning av differentialekvationer. De uttrycks i termer av trigonometriska funktioner med imaginära argument, så hyperbolisk cosinus lm (x) = cos (i · x) där i - är en imaginär enhet, hyperbolisk sinus sh (x) = Sin (i · x).
Hyperbolisk cosinus beräknas enkelt.
Betrakta funktionen y ^{= (e x + e -x)} / 2, är detta hyperbolisk cosinus lm (x). Med användning av regeln om att finna ett derivat av summan av två uttryck, den flytt vanligen konstant multiplikator (Const) för tecknet för derivatet. Den andra termen i 0,5 • e ^-x - komplex funktion (dess derivat är -0,5 · e ^-x), 0,5-f ^x - den första termen. (Lm (x)) '= ((e ^x + e ^{- x)} / 2)' kan skrivas på olika sätt: (0,5 · e · ^x + 0,5 e ^{- x)} '= 0,5 · e ^x -0,5 • e ^{- x,} eftersom derivatet (e ^{- x)} 'är lika med -1, till umnnozhennaya e ^{- x.} Resultatet blev en skillnad, och detta är hyperbolisk sinus sh (x).
Slutsats: (lm (x)) '= sh (x).
Rassmitrim ett exempel på hur man kan beräkna derivatan av funktionen y = lm (x ³ 1).
Genom differentiering regel hyperbolisk cosinus med komplexa argumentet y '= sh (x ³ 1) · (x ³ 1)', där (x ³ + 1) = 3 • x ² + 0.
A: derivat av denna funktion är lika med 3 · x ² · sh (x ³ 1).

Derivat diskuterade funktioner y = lm (x) och y = cos (x) tabell

Vid beslut av exemplen är inte nödvändigt varje gång för att skilja dem på det föreslagna systemet använder produktionen tillräckligt.
Exempel. Differentiera funktionen y = Cos (x) + Cos ² (-x) -CH (5 · x).
Det är lätt att beräkna (användning tabulerade data), y '= -sin (x) + Sin (2 · x) -5 · Sh (x · 5).