Georg Cantor: mängdlära, biografi och familj matematik

Georg Cantor (Bilden visar senare i artikeln) - tysk matematiker som utvecklade teorin om uppsättningar och introducerade begreppet transfinita tal, oändligt stor, men skiljer sig från varandra. Han gav också en definition av ordning och grundtal och etablerade sin aritmetik.

Georg Cantor: en kort biografi

Född i S: t Petersburg 1845/03/03. Hans far var en dansk protestant Georg Waldemar Cantor, var engagerad i handeln, Vol. H. och på börsen. Hans mor, Mary, var Bem katolik och kom från en familj av framstående musiker. När hans far George 1856 blev sjuk, familjen på jakt efter ett mildare klimat flyttade först till Wiesbaden sedan till Frankfurt. Matematisk talang visade pojken före sin 15-årsdag under studietiden i privata skolor och offentliga skolor i Darmstadt och Wiesbaden. I slutändan, Georg Cantor övertalade sin far i hans beslutsamhet att bli en matematiker snarare än en ingenjör.

Efter en kort utbildning vid universitetet i Zürich 1863. Cantor överfördes till Berlin University för att studera fysik, filosofi och matematik. Där var han lärde:

• Karl Theodor Weierstrass, vars inriktning i analysen, hade förmodligen det största inflytandet på George;
• Ernst Kummer, som lärde högsta aritmetik;
• Leopold Kronecker på talteori specialist, som senare motsatte Cantor.

Efter att ha tillbringat en termin vid universitetet i Göttingen 1866, skrev nästa år George sin doktorsavhandling med titeln "I matematik är mer värdefullt än att lösa problem konsten att ställa frågor" angående problemet att Carl Friedrich Gauss lämnade olöst i sin Disquisitiones Arithmeticae (1801) . Efter en kort stund undervisning vid Berlin School för flickor Kantor började arbeta vid universitetet i Halle, där han stannade fram till slutet av sitt liv, först som föreläsare, sedan 1872 som biträdande professor, och sedan 1879 den första som professor.

forskning

I början av en serie av 10 verk från 1869 till 1873, Georg Cantor ansåg teorin om siffror. Arbetet speglar passion för ämnet hans studie och effekten av Gauss Kronecker. På förslag av Heinrich Eduard Heine, Cantors kollegor på Halle, som erkänt sin matematiska begåvning, vände han sig till teorin om trigonometriska serier, som utvidgade begreppet reella tal.

Baserat på arbete funktion av en komplex variabel i den tyska matematikern Bernhard Riemann 1854, 1870, Cantor visade att en sådan funktion kan representeras på bara ett sätt - genom trigonometriska serier. Prövning av uppsättningen siffror (punkter), som inte skulle motsäga denna uppfattning ledde honom, i första hand, år 1872, definitionen av irrationella tal när det gäller konvergerande sekvenser av rationella tal (fraktioner av heltal) och sedan till början av arbete på hans livsverk, mängdlära och begreppet transfinita tal.

mängdlära

Georg Cantor, den teori som sätter sitt ursprung i korrespondens med den tekniska Institute of Braunschweig matematiker Richard Dedekind, var vän med honom sedan barndomen. De drog slutsatsen att de uppsättningar, ändliga eller oändliga, är ett flertal element (t ex nummer {0, ± 1, ± 2 ...}) Vilka har en viss egenskap, men behåller sin individualitet. Men när Georg Cantor tillämpas för att studera deras egenskaper ett-motsvarighet (t ex {A, B, C} till {1, 2, 3}), insåg snabbt han att de skiljer sig i deras grad av tillhörighet, även om det vore oändliga mängder , t. e. uppsättning stycke eller en delmängd av, som innefattar samma antal objekt som den är själv. Hans metod gav snart fantastiska resultat.

I 1873, Georg Cantor (matematiker) visade att rationella tal, även om oändligt, är kvantifierbart, eftersom de kan stoppas i ett-till-ett förhållande med naturliga (dvs. E. 1, 2, 3 ,. D.). Han visade att mängden av reella tal som består av ett rationellt och irrationella och oräkneliga oändliga. Vilken paradox, Cantor visat att mängden av alla algebraiska tal innehåller så många element som mängden av alla heltal, och att transcendenta tal som inte är algebraiska, som är en delmängd av irrationella tal är oräkneliga och därmed deras antal är större än heltalen och bör betraktas som oändlig.

Motståndare och anhängare

Men jobbet Cantor, där han först fram resultaten, inte publicerades i "Krell" tidningen som en av granskarna, var Kronecker emot. Men efter ingripande av Dedekind den publicerades 1874 under titeln "Egenskaperna hos alla reella algebraiska tal."

Science och privatliv

Samma år, under smekmånaden med sin fru, Valli Gutman i Interlaken, Schweiz, träffade Cantor Dedekind som vänligt kommenterade sin nya teori. George lön var liten, men med de pengar hans far, som dog 1863 hade han byggt för hans fru och fem barn hemma. Många av hans verk har publicerats i Sverige i den nya tidskriften Acta Mathematica, redaktör och grundare av vilka var Gösta Mittag-Leffler, bland de första att erkänna talang i den tyska matematiker.

Kommunikation med metafysik

Teori Cantor var helt nytt föremål för forskning som hänför sig till matte oändlig (t.ex. sekvensen 1, 2, 3 ,. D., Och mer komplexa satser), som är till stor del beroende på en-till-ett-förhållande. Cantor Utveckling av nya metoder för att sätta frågor om kontinuitet och oändligheten lånat ut sin studier blandade.

När han hävdade att oändligt antal verkligen existerar, vände han sig till den gamla och medeltida filosofi när det gäller faktisk och potentiell oändlighet, liksom den tidiga religiösa utbildning, som föräldrar gav honom. År 1883, i sin bok "Fundamentals of den allmänna teorin om uppsättningar" Kantor kombinerat sitt koncept av metafysik Plato.

Kronecker också, som hävdade att "det finns" bara heltal ( "Gud skapade heltalen, resten - arbetet med att man"), under många år starkt avvisade hans argument och hindrade hans utnämning till universitetet i Berlin.

transfinita tal

I 1895-1897 gg. Georg Cantor fullt utvecklade sin idé om kontinuitet och oändligheten, bland annat en oändlig sekvens och grundtal i hans mest kända verk, som publicerades under titeln "Bidrag till teorin om transfinita tal" (1915). I detta arbete ingår hans uppfattning, som han ledde en demonstration som en oändlig uppsättning kan levereras i ett ett-till-ett förhållande med en av sina undergrupper.

Den minsta transfinite kardinaltal han menade kraften i varje set, som kan sättas i ett-till-ett korrespondens med de naturliga talen. Kantor beskrev hans alef-noll. Stor transfinite flertal Alef-betecknad en, två eller Aleph-t. D. Det utvecklas ytterligare aritmetiska ordningstal, vilket var liknande den finita aritmetik. Således har han berikat begreppet oändlighet.

Oppositionen han möter, och den tid det tog för att se till att hans idéer accepteras fullt ut, förklarade komplexiteten i omvärdering av den gamla frågan om vad som är numret. Kantor visade att en uppsättning punkter på linjen har en högre kapacitet än Aleph-noll. Detta ledde till det välkända problemet med kontinuumhypotesen - inga kardinaler mellan aleph-noll och inga eluttag på linjen. Detta problem i den första och andra halvan av 20-talet är av stort intresse och har studerats av många matematiker i Vol. H. Kurt Gödel och Paul Cohen.

depression

Biografi Georga kantora 1884 fördärvades av hans begynnande psykisk sjukdom, men han fortsatte att arbeta aktivt. År 1897 hjälpte han att hålla det första internationella kongressen i matematik i Zürich. Dels för att han motsatte sig Kronecker, ofta sympatiserade han med de unga spirande matematiker och försökte hitta ett sätt att rädda dem från trakasserier av lärare som känner sig hotade av nya idéer.

erkännande

Vid sekelskiftet hans arbete var helt erkänd som en grund för teorin om funktioner, analys och topologi. Dessutom kantora Georga bok fungerat som en drivkraft för vidareutveckling av formalis och intuitionist skola logiska grunderna för matematiken. Detta har väsentligt förändrat systemet för undervisning och förknippas ofta med den "nya matte."

År 1911, Cantor var bland de inbjudna till firandet av 500-årsdagen av University of St Andrews i Skottland. Han åkte dit i hopp om att träffa Bertrand Russell, som i sin nyligen publicerade verk Principia Mathematica upprepade gånger hänvisat till den tyska matematiker, men det skedde inte. University tilldelas Cantor en hedersdoktor, men på grund av sjukdom han var oförmögen att ta emot priset personligen.

Cantor avgick i 1913 och levde i fattigdom och svälter under första världskriget. Firandet i ära av hans 70-årsdag 1915 avbröts på grund av krig, men en liten ceremoni hölls i sitt hem. Han dog på 1918/06/01 i Galle, på ett psykiatriskt sjukhus, där han tillbringade de sista åren av sitt liv.

Georg Cantor: A Biography. familj

9 Augusti 1874, den tyska matematikern gift Valli Gutman. Paret hade 4 söner och 2 döttrar. Det sista barnet föddes 1886 i Cantor köpt ett nytt hem. Försörja familjen hjälpte han sin fars arv. Hälsan hos Cantor påverkas i hög grad att hans yngste son 1899 - eftersom det aldrig lämnat depression.