Irrationella tal: vad är det och vad används de?

Vad är ett irrationellt tal? Varför kallas de? Där de används och vad som utgör? Få kan utan att tveka att besvara dessa frågor. Men i själva verket, svaren är ganska enkelt, även om inte alla är nödvändiga och i mycket sällsynta fall,

Kärnan och beteckning

Irrationella tal finns oändliga icke-periodiska decimaler. Behovet av att införa detta koncept härrör från det faktum att för att ta itu med nya framväxande utmaningarna har varit otillräckliga tidigare befintliga koncept av verkliga eller riktiga, hela, naturliga och rationella tal. Till exempel, för att beräkna ett kvadratvärdet är 2, är det nödvändigt att använda en icke-periodisk oändlig decimaldel. Dessutom har många enkla ekvationer har heller ingen lösning utan införandet av begreppet irrationella tal.

Denna uppsättning betecknas I. Och som har blivit tydligt, dessa värden kan inte representeras som en enkel fraktion täljare som är hela, och nämnaren - ett naturligt tal.

För första gången på ett eller annat sätt med detta fenomen inför indiska matematiker i VII-talet f.Kr., då det upptäcktes att de kvadratrötter av vissa kvantiteter inte kan identifieras klart. Ett första bevis på förekomsten av sådana siffror kredit Pythagoras Hippasos, som gjorde det i studiet av en likbent rätvinklig triangel. En allvarlig bidrag till studiet av denna uppsättning har fört även vissa vetenskapsmän som levde före Kristus. Införandet av begreppet irrationella tal ledde till en översyn av den befintliga matematiska system, och det är därför de är så viktiga.

Ursprunget till namnet

Om förhållandet på latin - är "shot", "attityd", prefixet "ir"
fäst till ordet motsatta. Således, namnet på den uppsättning av dessa siffror tyder på att de inte kan korreleras till ett heltal eller bråk, har ett säte. Detta följer av deras natur.

Placera i den allmänna klassificeringen

Irrationella tal, tillsammans med rationell hänvisar till en grupp av verkliga eller virtuella, vilket i sin tur hör till komplexet. Delmängder dock inte skilja mellan algebraiska och transcendentala slag, som kommer att diskuteras nedan.

egenskaper

Eftersom irrationella tal - det är en del av en uppsättning av verkliga, sedan använda dem alla sina egenskaper, som studeras i aritmetik (även kallad grundläggande algebraiska lagar).

a + b = b + a (kommutativitet);

(A + b) + c = a + (b + c) (associativitet);

a + 0 = a;

a + (-a) = 0 (förekomsten av additiv invers);

ab = ba (kommutativ lag);

(Ab) c = a (bc) (Distributivity);

a (b + c) = ab + ac (distributiva lagen);

ax 1 = a

ax 1 / a = 1 (det omvända talet existens);

Jämförelse görs också i enlighet med de allmänna lagar och principer:

Om a> b och b> c, sedan en> c (transitivitet förhållande) och. t. d.

Naturligtvis kan alla irrationella tal omvandlas med hjälp av de grundläggande aritmetiska operationer. Eventuella särskilda regler i detta.

Dessutom irrationella tal omfattas av Archimedes axiom. Det sägs att för varje två värden av A och B är sant att genom att ta en term som ett tillräckligt antal gånger, är det möjligt att slå b.

användningen av

Trots det faktum att i verkliga livet inte ofta måste ta itu med dem, irrationella tal inte redogöra. De är väldigt många, men de är praktiskt taget osynliga. Vi är omgivna av irrationella tal. Exempel, välbekanta för alla, - antalet pi, lika med 3.1415926 ... eller e, är i huvudsak en bas av naturliga logaritmer, 2,718281828 ... i algebra, trigonometri och geometri måste använda dem hela tiden. Förresten, den välkända värdet av "gyllene snittet", det vill säga förhållandet mellan hur mycket av högt till lågt och vice versa, och Den hänvisar till denna uppsättning. Mindre välkända "silver" - också.

På tallinjen, de är mycket nära, så att mellan två storheter, som omfattas av en uppsättning rationellt, irrationella nödvändigtvis förekomma.

Hittills finns det en hel del olösta frågor som rör denna uppsättning. Det finns kriterier såsom det irrationella av åtgärden och normalitet av antalet. Matematiker fortsätter att utforska de viktigaste exemplen för att de tillhör en eller annan grupp. Till exempel antas det att e - normalt antal, det vill säga sannolikheten för förekomst i sin inspelning av olika figurer är samma ... När det gäller pi, sedan dess relativt lång under utredning. Mät irrationalitet även kallad värde indikerar hur bra ett visst antal kan approximeras med rationella tal.

Algebraisk och transcendental

Som redan nämnts, irrationella tal villkorligt delas in i algebraiska och transcendentala. Konventionellt, eftersom, strängt taget, är den klassificering som används för att dela upp nämnda flertal C.

Under denna beteckning döljer de komplexa talen, som omfattar faktisk eller verklig.

Så algebraiska kallas ett värde, som är roten till det polynom inte är identiskt noll. Till exempel kommer kvadratroten ur två hör till denna kategori, eftersom det är en lösning av ekvationen x ² - 2 = 0.

Alla andra reella tal som inte uppfyller detta villkor kallas transcendentala. Denna art och är de mest välkända och redan nämnda exemplen - numret pi och den naturliga logaritmen basen e.

Intressant nog varken det ena eller det andra var ursprungligen uppfödd av matematiker som sådan, deras irrationalitet och transcendens har bevisats genom många år efter upptäckten. För pi bevis lämnades 1882 och förenklas 1894, som satte stopp för debatten om problemet med det omöjliga, som varade i 2500 år. Det är fortfarande inte helt klarlagda, så att moderna matematiker har arbete att göra. Förresten, hade den första någorlunda korrekt beräkning av detta värde Archimedes. Framför honom, alla beräkningar var alltför ungefärliga.

För e (Eulers nummer eller Napier), var ett bevis på hans transcendens som finns i 1873. Det används för att lösa logaritmiska ekvationer.

Bland andra exempel - sinus, cosinus och tangens för eventuella nollskilda algebraiska värden.