Geometrisk progression och dess egenskaper

Geometrisk progression är viktigt i matematik som en vetenskap, och tillämpad betydelse, eftersom den har ett mycket brett tillämpningsområde, även i de högre matematiken, till exempel, i teorin om serien. Den första informationen om de framsteg som kom till oss från det gamla Egypten, särskilt i form av ett välkänt problem i Rhind papyrus sju personer med sju katter. Variationer av denna uppgift upprepades många gånger vid olika tidpunkter från andra nationer. Även Velikiy Leonardo Pizansky, känd som Fibonacci (XIII c.), Talade till henne i hans "Book of the Abacus."

Så att den geometriska progression har en gammal historia. Den representerar en numerisk sekvens med en från noll skild första element, och varje efterföljande, med början med den andra bestäms genom att multiplicera den tidigare återkommande formeln vid en konstant, icke-noll tal som kallas nämnare progression (det vanligtvis betecknas med bokstaven q).
Uppenbarligen kan det hittas genom att dividera varje efterföljande sikt av sekvensen till den föregående, dvs z 2: z 1 = ... = zn: z n-1 = .... Följaktligen, för de flesta jobb progression (zn) tillräckligt att den vet värdet av den första termen i nämnaren och y 1 q.

Till exempel, låt z 1 = 7, q = - 4 (q <0), då följande geometrisk progression erhålls 7 - 28, 112 - 448, .... Som ni kan se, är den resulterande sekvensen inte monoton.

Minns att en godtycklig sekvens av monotona (ökande / minskande) när en av dess medlemmar följer mer / mindre än den föregående. Till exempel, sekvensen 2, 5, 9, ..., och -10, -100, -1000, ... - Monotone, den andra - en minskande geometrisk progression.

I det fall då q = 1, är alla medlemmar visade sig vara, och den kallas den konstanta progression.

Sekvensen var utvecklingen av denna typ, måste den uppfylla följande nödvändigt och tillräckligt villkor, nämligen: med start från det andra, var och en av dess medlemmar bör vara det geometriska medelvärdet av angränsande medlemmar.

Denna egenskap gör det möjligt under vissa två angränsande fynd godtycklig term progression.

n: te termen exponentiellt lätt hittas genom formeln: zn = z 1 * q ^ (n-1), z vetskap första elementet 1 och nämnaren q.

Eftersom talsekvensen har en summa, sedan ett par enkla beräkningar ger oss en formel för att beräkna summan av den första progression av medlemmar, nämligen:

S n = - (zn * q - z 1) / (1 - q).

Ersätta, i formeln dess uttryck värde zn z 1 * q ^ (n-1) för att erhålla en andra summaformel av progressionen: Sn = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Är värd uppmärksamhet följande intressant faktum: leran tabletten som finns i utgrävningar av forntida Babylon, som hänvisar till VI. BC, innehåller anmärkningsvärt sätt summan av 1 + 2 + ... + 22 + 29 lika med 2 till tionde effekt minus 1. Förklaringen till detta fenomen har ännu inte hittats.

Vi noterar en av egenskaperna hos geometrisk progression - en ständigt arbete av dess medlemmar, fördelade på samma avstånd från ändarna av sekvensen.

Av särskild betydelse ur vetenskaplig synpunkt, en sådan sak som en oändlig geometrisk progression och beräkna dess belopp. Om man antar att (yn) - en geometrisk progression med nämnare q, uppfyller villkoret | q | <1, dess belopp kommer att hänvisas till gränsen mot vilken vi redan vet summan av dess första medlemmar, med obegränsad ökning av n, så ha det närmar oändlighet.

Hitta detta belopp som ett resultat av att använda formeln:

S n = y 1 / (1-q).

Och eftersom erfarenheten har visat, för den skenbara enkelheten i denna utveckling är dold en enorm ansökan potential. Till exempel, om vi konstruera en sekvens av kvadrater i enlighet med följande algoritm, som förbinder mittpunkterna på den tidigare, då de bildar en fyrkantig oändlig geometrisk progression med en nämnare 1/2. Samma progression formen och området av trianglar, som erhållits i varje steg av konstruktion, och dess summa är lika med arean av den ursprungliga kvadrat.