Enkel iteration metod för att lösa linjära ekvationssystem (Slough)

Enkel iteration metod, även kallad metoden för successiv approximation, - en matematisk algoritm för att hitta värdena för okänt värde genom en gradvis klargöra det. Det väsentliga i denna metod är att, som namnet antyder, är gradvis uttrycker en initial approximation av de efterföljande, blir mer förfinade resultat. Denna metod används för att hitta värdet på variabel i en given funktion, och lösa ekvationssystem, både linjära och icke-linjära.

Låt oss se hur denna metod implementeras i lösningen av linjära system. fast punkt iteration algoritm är som följer:

1. Kontrollen av konvergensvillkoren i den initiala matrisen. En konvergens sats: om det ursprungliga systemmatrisen är diagonalt dominerande (dvs måste varje rad av element i huvuddiagonalen vara större i magnitud än summan av de faktorer sido diagonaler i absolut värde), metoden för enkla iterationer - konvergent.

2. matris av det ursprungliga systemet är inte alltid diagonal dominans. I sådana fall kan systemet omvandlas. Ekvationerna som uppfyller konvergenstillstånd lämnas intakt, med otillfredsställande och göra linjära kombinationer, d.v.s. multiplicera, subtrahera, ekvation vikas ihop för att producera det önskade resultatet.

Om den mottagna systemet på huvuddiagonalen är obekväma faktorer, sedan till båda sidor av denna ekvation sätts med avseende på formen _i * x _i, som bör sammanfalla med de tecken tecken på diagonalelementen.

3. Konvertera det resulterande systemet till normal vy:

^{x - = β - + α *} x -

Detta kan göras på många sätt, t ex enligt följande: den första ekvationen för att uttrycka x ₁ genom andra okända från vtorogo- x _2, x ₃ av tretego- etc. Sålunda vi med användning av formeln:

_{α-ij = - (aij /} a ii)

_i = b _i / a _ii
Kontrollera återigen att det resulterande systemet av normal typ motsvarar konvergens villkor:

Σ (j = 1) | α _ij | ≤ 1, och i = 1,2, ... n

4. Börja användes, faktiskt, metoden för successiva approximationer.

x ⁽⁰⁾ - initial approximation, uttrycker vi därigenom x ^(1), följt av x ⁽¹⁾ x express ^(2). Den allmänna formeln för en matrisform på följande sätt:

x ^{(N) = β - + α} * x (n- ¹⁾

Vi beräknar, tills vi når önskad noggrannhet:

_{max | x (k) -x} (k + 1) ≤ ε

Så, låt oss titta i praktiken metoden för enkel iteration. exempel:
Lösa linjära system:

4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 med noggrannhet ε = 10 ^-3

Se råda om de diagonala elementen i modulen.

Vi ser att konvergens villkoret är uppfyllt av en tredje ekvation. Den första och andra transformera den första ekvationen vi lägger två:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

Subtrahera från tredje:

-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Vi har förändrat det ursprungliga systemet i motsvarande:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

Nu minskar vi systemet till normal vy:

x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Vi kontrollerar konvergensen av den iterativa processen:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, dvs. villkoret är uppfyllt.

0,3947
Initial approximation x ⁽⁰⁾ = 0,4762
0,8511

Ersätt dessa värden i ekvationen för den normala typen, får vi följande värden:

0,08835
x ⁽¹⁾ = 0,486793
0.446639

Suppleant nya värden, får vi:

0.215243
x ⁽²⁾ = 0,405396
0.558336

Vi fortsätter att räkna tills tills du får närmare till de värden som uppfyller angivna villkor.

0,18813

x ⁽⁷⁾ = 0,441091

0.544319

0.188002

x ⁽⁸⁾ = 0,44164

0.544428

Kontrollera riktigheten av resultaten:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0544 = 0,9987
1,8 * 2,5 * 0,1880 + 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

Resultat som erhållits genom att ersätta de erhållna värdena i den ursprungliga ekvationen, fullo uppfyller ekvationen.

Som vi kan se, ger enkel iteration metod en ganska exakt resultat, men att lösa denna ekvation, var vi tvungna att tillbringa en hel del tid och gör besvärliga beräkningar.