Teorin om sannolikhet. Sannolikheten för en händelse, enstaka händelse (sannolikhetsteori). Oberoende och oförenliga utvecklingen i teorin om sannolikheten

Det är osannolikt att många människor tycker att det är möjligt att räkna händelser, vilket till viss del misstag. För att uttrycka det i enkla ord, är det realistiskt att veta vilken sida av kuben i tärningarna kommer att falla nästa gång. Det var denna fråga att ställa två stora vetenskapsmän, lade grunden för denna vetenskap, teorin om sannolikhet, sannolikheten för händelsen där studerade flitigt nog.

generationen

Om du försöker definiera ett sådant begrepp som teorin om sannolikhet får vi följande: detta är en av de grenar av matematiken som studerar beständigheten slumpmässiga händelser. Uppenbarligen detta begrepp egentligen inte avslöjar det väsentliga, så du behöver tänka på det mer i detalj.

Jag skulle vilja börja med grundarna av teorin. Som nämnts ovan fanns det två, att Per Ferma och Blez Paskal. De var de första försök att använda formler och matematiska beräkningar för att beräkna resultatet av en händelse. I allmänhet är grunderna för denna vetenskap även under medeltiden. Medan olika tänkare och forskare har försökt att analysera kasinospel såsom roulette, craps, och så vidare, för att därigenom skapa ett mönster, och den procentuella förlusten av ett antal. Grunden lades också i sextonhundratalet var det ovan nämnda forskare.

Inledningsvis kunde deras arbete inte tillskrivas de stora landvinningar inom detta område, trots allt, vad de gjorde, var de helt enkelt empiriska fakta och experiment var klart utan att använda formler. Med tiden visade det att uppnå bra resultat, som verkade som ett resultat av observation av rösterna i benen. Det är detta instrument har bidragit till att den första distinkta formel.

supportrar

För att inte tala om en sådan man som Christiaan Huygens, i färd med att studera ämnet som bär namnet "sannolikhetsteori" (sannolikhet för händelsen belyser det i denna vetenskap). Denna person är mycket intressant. Han, såväl som vetenskapsmän som presenteras ovan prövas i form av matematiska formler för att härleda ett mönster av slumpmässiga händelser. Det är anmärkningsvärt att han inte dela den med Pascal och Fermat, det vill säga allt hans arbete inte överlappar med dessa sinnen. Huygens härrör de grundläggande koncepten i sannolikhetsteori.

Ett intressant faktum är att hans arbete kom långt innan resultaten av de verk av pionjärer, för att vara exakt, tjugo år tidigare. Det finns bara bland de begrepp som identifierats var:

• som begreppet sannolikhetsvärden chans;
• förväntan för det diskreta fallet;
• satser av addition och multiplikation av sannolikheter.

Dessutom kan man inte glömma Yakoba Bernulli, som också bidragit till att studera problemet. Genom sin egen, ingen av dem är oberoende tester, kunde han ge bevis för stora talens lag. I sin tur forskarna Poisson och Laplace, som arbetade i början av artonhundratalet, kunde bevisa den ursprungliga satsen. Från det ögonblicket att analysera fel i observationerna vi började använda sannolikhetsteori. Party runt denna vetenskap inte kunde och ryska forskare, snarare Markov, Chebyshev och Dyapunov. De bygger på det arbete som gjorts stora genier, säkrade ämnet som en gren av matematiken. Vi arbetade dessa siffror i slutet av artonhundratalet, och tack vare deras bidrag har visat fenomen som:

• lagen om stora tal;
• Teori för Markovkedjor;
• Den centrala gränsvärdessatsen.

Så, är historien om födelsen av vetenskap och med de stora personligheter som bidragit till den allt mer eller mindre klar. Nu är det dags att bygga ut alla fakta.

grundläggande begrepp

Innan du rör lagar och satser bör lära sig de grundläggande begreppen sannolikhetsteori. Händelse det har en dominerande roll. Det här ämnet är ganska omfattande, men kommer inte att kunna förstå allt det andra utan den.

Event i sannolikhetsteori - det Varje uppsättning av resultaten av experimentet. Begreppen detta fenomen finns det inte tillräckligt. Således Lotman forskare som arbetar inom detta område, har uttryckt att vi i det här fallet talar om vad "hände, även om det inte skulle kunna hända."

Slumpmässiga händelser (sannolikhetsteori betalar särskild uppmärksamhet åt dem) - är ett begrepp som innebär absolut alla fenomen som har möjlighet att inträffa. Eller tvärtom, detta scenario kan inte hända i utförandet av en rad olika tillstånd. Det är också värt att veta att ockupera hela volymen av de fenomen som förekommer bara slumpmässiga händelser. Sannolikhetsteori föreslår att alla villkor kan upprepas ständigt. Det är deras beteende har kallats "erfarenhet" eller "test".

Viktig händelse - detta är ett fenomen som är hundra procent i detta test hända. Således det omöjliga händelse - detta är något som inte händer.

Kombinering paren Åtgärd (konventionellt fallet A och fall B) är ett fenomen som sker samtidigt. De kallas AB.

Mängden av par av händelser A och B - C är, med andra ord, om åtminstone en av dem kommer att (A eller B), du får en C. Formeln beskrivna fenomenet skrivs C = A + B.

Oförenliga utvecklingen i sannolikhetsläran innebär att de två fallen utesluter varandra. Samtidigt är de i alla fall inte kan ske. Gemensamma evenemang inom sannolikhetsteori - det är deras antipod. Innebörden är att om en hände, inte utesluter C.

Motsatta händelsen (sannolikhetsteori anser dem i detalj), är lätta att förstå. Det är bäst att ta itu med dem i jämförelse. De är nästan densamma som oförenliga utvecklingen i teorin om sannolikhet. Men deras skillnaden att en av ett flertal fenomen i alla fall skulle inträffa.

Lika sannolika händelser - dessa åtgärder, är möjligheten att upprepning lika. För att göra det klart, kan ni tänka er att kasta ett mynt: förlust av en av dess sidor är lika sannolika förlusten andra.

det är lättare att betrakta exemplet gynna händelsen. Antag att det finns en episod i episoden A. Den första - en rulle av ett munstycke med tillkomsten av ett udda tal, och den andra - utseendet på nummer fem på tärningen. Då visar det sig att A är gynnad V.

Oberoende händelser inom sannolikhetsteori projiceras endast vid två eller flera tillfällen och omfattar oberoende av någon åtgärd från den andra. Till exempel A - vid förlust svansar mynt gungade, och B - dostavanie jack från däck. De har oberoende händelser inom sannolikhetsteori. Från denna stund blev det klart.

Beroende händelser inom sannolikhetsteori är också tillåtet endast för sin uppsättning. De innebär beroende av en å andra sidan, det vill säga fenomenet kan förekomma endast i det fall när A redan har inträffat eller tvärtom, inte hända när det är - den viktigaste förutsättningen för B.

Resultatet av den slumpmässiga experiment som består av en enda komponent - det är elementära händelser. Sannolikhetsteori säger att det är ett fenomen som sker endast en gång.

grundläggande formel

Således ovan ansågs begreppet "händelse", "sannolikhetsteori" var definitioner av nyckelbegrepp i denna vetenskap ges också. Nu är det dags att bekanta sig med de viktiga formler. Dessa uttryck är matematiskt bekräftas alla de viktigaste begreppen i ett sådant svårt ämne som teorin om sannolikhet. Sannolikheten för en händelse och spelar en stor roll.

Bättre att börja med de grundläggande formler kombinatorik. Och innan du börjar dem, är det värt att överväga vad det är.

Kombinatorik - är i första hand en gren av matematiken, han har studerat ett stort antal heltal, och olika permutationer av både siffror och deras element, olika data, etc., vilket leder till ett antal kombinationer ... Förutom teorin om sannolikheten är viktigt för statistik, datavetenskap och kryptografi denna industri.

Så nu kan du gå vidare till presentation av sig själva och deras definition formler.

Den första av dessa är ett uttryck för antalet permutationer, det är som följer:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

Ekvation gäller endast i fallet om elementen skiljer sig endast i storleksordningen av arrangemang.

Nu placering formel ser det ut som kommer att beaktas:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (N - m)!

Detta uttryck gäller inte bara för den enda del av orderläggning, men också till dess sammansättning.

Den tredje ekvationen för kombinatorik, och det är det senare, kallas formeln för antalet kombinationer:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Kombination kallas sampling, som inte beställs respektive till och tillämpat denna regel.

Med formlerna för kombinatorik kom att förstå enkelt kan du nu gå till den klassiska definitionen av sannolikhet. Det ser ut som detta uttryck på följande sätt:

P (A) = m: n.

I denna formel, m - är antalet betingelser som leder till händelsen A, och n - antal lika och helt alla elementära händelser.

Det finns många uttryck i artikeln inte anses annat än drabbade kommer att vara de viktigaste såsom till exempel uppgår sannolikheten för händelser:

P (A + B) = P (A) + P (B) - denna sats för att addera endast ömsesidigt uteslutande händelser;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - men detta är endast för att lägga till kompatibla.

Sannolikheten för händelse verk:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - denna sats för oberoende händelser;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - och detta för den beroende.

Slutade lista över händelser formel. Teorin om sannolikhet berättar teorem Bayes, som ser ut så här:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

I denna formel, H _1, H _2, ..., _Hn - är en komplett uppsättning av hypoteser.

Vid detta stopp kommer prover formler ansökan nu övervägas för specifika uppgifter från praktiken.

exempel

Om du noggrant studera någon gren av matematiken, är det inte utan övningar och provlösningar. Och teorin om sannolikhet: händelser, exempel här är en integrerad del av bekräftar vetenskapliga beräkningar.

Formeln för antalet permutationer

Till exempel i en kortlek har trettio kort, med början med den nominella. Nästa fråga. Hur många sätt att vika däck så att korten med ett nominellt värde av ett och två inte ligger bredvid?

Uppgiften är inställd, nu ska vi gå vidare för att ta itu med det. Först måste du bestämma antalet permutationer av trettio element, för detta ändamål vi tar ovanstående formel, visar det P_30 = 30!.

Baserat på denna regel, vet vi hur många alternativ finns för att fastställa däck på många sätt, men vi måste dras av från dem är sådana där det första och andra kortet kommer att vara nästa. För att göra detta, börja med en variant, när den första är placerad på den andra. Det visar sig att den första kartan kan ta tjugonio platser - från den första till den tjugonionde och det andra kortet från den andra till den trettio, vänder tjugo nio platser för par av kort. I sin tur kan de andra ta tjugoåtta sittplatser och i valfri ordning. Det vill säga, för ombildning av tjugoåtta kort har tjugoåtta alternativ P_28 = 28!

Resultatet är att om vi anser att beslutet, när det första kortet ligger på andra extra möjlighet att få 29 ⋅ 28! = 29!

Genom att använda samma metod, måste du beräkna antalet redundanta alternativ för fallet då det första kortet är placerat under den andra. Också fått 29 ⋅ 28! = 29!

Av detta följer att de extra alternativ 2 ⋅ 29!, Medan de medel som krävs för att samla in däcket 30! - 2 ⋅ 29!. Det återstår bara att beräkna.

30! = 29! ⋅ 30; 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Nu måste vi multiplicera ihop alla nummer 1-29, och sedan i slutet av allt multiplicerat med 28. Svaret erhållet 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Exempel på lösningar. Formeln för antalet boende

I detta problem, måste du ta reda på hur många det finns sätt att sätta de femton volymer på en hylla, men under förutsättning att bara trettio volymer.

I den här uppgiften, beslutet lite lättare än den föregående. Med hjälp av redan kända formel, är det nödvändigt att beräkna det totala antalet trettio orter femton volymer.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Svar, respektive, kommer att vara lika med 202 843 204 931 727 360 000.

Nu tar uppgiften lite svårare. Du måste veta hur många det finns sätt att ordna trettiotvå böcker på hyllorna, med förbehållet att endast femton volymer kan finnas på samma hylla.

Före början av beslutet vill klargöra att en del av problemen kan lösas på flera sätt, och i detta finns det två sätt, men både en och samma formel tillämpas.

I den här uppgiften, kan du ta svar från den föregående, eftersom det vi har beräknat hur många gånger du kan fylla i hyllan för femton böcker på olika sätt. Det visade A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Den andra regiment beräknas med formeln ombildning, eftersom den är placerad femton böcker, medan återstoden av femton. Vi använder formel P_15 = 15!.

Det visar sig att summan kommer A_30 ^ 15 ⋅ P_15 sätt, utan dessutom skulle produkten av alla nummer från 30 till 16 multipliceras med produkten av siffrorna 1-15, i slutändan visar sig produkten av alla nummer från 1-30, är att svaret är 30!

Men detta problem kan lösas på ett annat sätt - lättare. För att göra detta, kan ni tänka er att det finns en hylla för trettio böcker. Alla av dem är placerade på detta plan, men eftersom tillstånd kräver att det fanns två hyllor, en länge vi sågning i hälften, två varv femton. Av detta visar det sig att för detta arrangemang kan vara P_30 = 30!.

Exempel på lösningar. Formeln för antalet kombinationer av

Som anses vara en variant av den tredje frågan om kombinatorik. Du behöver veta hur många sätt det finns att ordna femton böcker under förutsättning att du måste välja mellan trettio exakt samma.

För beslut kommer naturligtvis tillämpa formeln för antalet kombinationer. Från villkoret att det blir tydligt att ordningen på samma femton böcker är inte viktigt. Så först måste du ta reda på det totala antalet kombinationer av trettio femton böcker.

C_30 ^ 15 = 30! ((30-15))! : 15! = 155117520

Det är allt. Med användning av denna formel, på kortast möjliga tid för att lösa ett sådant problem, svaret, respektive, som är lika med 155.117.520.

Exempel på lösningar. Den klassiska definitionen av sannolikhet

Med hjälp av formeln som anges ovan, kan man hitta ett svar på en enkel uppgift. Men det kommer tydligt se och följa tillvägagångssättet.

Uppgiften med tanke på att i en urna finns tio helt identiska bollar. Av dessa fyra gula och sex blå. Taget från urnan en boll. Det är nödvändigt att veta sannolikheten dostavaniya blå.

För att lösa problemet är det nödvändigt att utse dostavanie blå bollen händelse A. Denna erfarenhet kan ha tio resultat, vilket i sin tur, elementär och lika sannolika. På samma gång, sex av de tio är gynnsamma för händelsen A. Lös följande formel:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Att tillämpa denna formel har vi lärt oss att möjligheten dostavaniya blå bollen är 0,6.

Exempel på lösningar. Sannolikheten för händelser belopp

Som kommer att vara en variant som löses genom användning av formeln av sannolikhet av händelser belopp. Så, med tanke på villkoret att det finns två fall är den första grå och fem vita bollar, medan den andra - åtta grå och fyra vita bollar. Som ett resultat har den första och andra lådor tas på en av dem. Det är nödvändigt att ta reda på vad är chanserna som saknade bollarna är grått och vitt.

För att lösa detta problem, är det nödvändigt att identifiera händelsen.

• Sålunda, A - vi har en gray ball av den första rutan: P (A) = 1/6.
• A '- vit glödlampa också tas från den första rutan: P (A') = 5/6.
• Den - redan extraherade gray ball av den andra ledningen: P (B) = 2/3.
• B '- tog en gray ball av den andra lådan: P (B') = 1/3.

Enligt problem är det nödvändigt att ett av de fenomen som hände: AB 'eller' B. Med hjälp av formeln, erhåller vi: P (AB ') = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Nu formeln för att multiplicera sannolikheten användes. Nästa, ta reda på svaret, måste du tillämpa sina ekvation tillägger:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

Det är så, med hjälp av formeln, kan du lösa sådana problem.

resultat

Papperet presenterades för information om "sannolikhetsteori", sannolikheten för händelser som spelar en viktig roll. Naturligtvis har inte allt ansetts, men på grundval av den text som presenteras kan du teoretiskt bekanta sig med denna gren av matematiken. Anses vetenskap kan vara användbart inte bara i professionell verksamhet, men också i det dagliga livet. Du kan använda den för att beräkna varje möjlighet till en händelse.

Texten har också påverkats av betydande datum i historien om utvecklingen av sannolikhetsteori som en vetenskap, och namnen på de personer vars verk har lagt ned på det. Det är hur människans nyfikenhet har lett till det faktum att människor har lärt sig att räkna, även slumpmässiga händelser. När de är bara intresserade av detta, men i dag är det redan känt för alla. Och ingen kan säga vad som kommer att hända med oss i framtiden, vad andra lysande upptäckter i samband med teorin i fråga, skulle begås. Men en sak är säker - studien är fortfarande inte värt det!