Regelbunden polyhedra: element symmetri och område

Geometri är vacker eftersom den till skillnad algebra, vilket inte alltid är klart varför och vad du tycker ger ett visuellt objekt. Denna underbara värld olika organ pryder ordinarie polyhedra.

Allmän information om regelbundna polyhedra

Enligt många, regelbundna polyedrar, eller som de kallas platonska fasta, har unika egenskaper. Med dessa objekt anslutna flera vetenskapliga hypoteser. När du börjar studera geometriska data i kroppen, inser du att nästan inte vet någonting om ett sådant begrepp som den vanliga polyhedra. Presentationen av dessa objekt i skolan är inte alltid intressant, så många inte ens ihåg vad de kallades. Till minne av de flesta människor är det bara en kub. Ingen av kroppen geometrin inte besitter sådan perfektion som vanliga polyedrar. Alla namnen på dessa geometriska kroppar härstammar från antikens Grekland. De står för antal ansikten: tetraedern - fyrsidig, hexahedron - Allen, octahedron - oktagon, dodecahedron - dodekaedriska, icosahedron - ikosaedriska. Alla dessa geometriska kropp intar en viktig plats i Platons uppfattning om universum. Fyra av dem är förkroppsligade element eller enheter: tetraedern - elden, Icosahedron - Water Cube - jord, octahedron - luft. Dodecahedron förkroppsligade allt. Han ansågs vara den viktigaste, som en symbol för universum.

Generaliseringen av begreppet en polyeder

Polyhedron är en ändlig samling av polygoner så att:

• var och en av sidorna av någon av de polygoner är samtidigt endast en sida av en annan polygon på samma sida;
• från var och en av de polygoner som du kan gå till den andra genom att därintill polygoner.

Polygoner som utgör polyhedron företräda sina ansikten och deras sido - revben. polyhedra hörn är det hörn av polygoner. Om termen polygon förstå platta slutna polylinjer, sedan kommer till en definition av en polyeder. I det fall då med denna term menas en del av planet som är begränsat av streckade linjer, kommer det att förstås yta bestående av polygonala stycken. Konvex polyhedron kallas kroppen liggande på ena sidan av planet, som gränsar till dess ytor.

En annan definition av en polyeder och dess element

Polyhedron kallas yta bestående av polygoner, vilket begränsar den geometriska kroppen. De är:

• icke-konvex;
• konvex (rätt och fel).

Regelbunden polyhedron - är en konvex polyhedron med maximal symmetri. Delar av regelbunden polyhedra:

• Tetrahedron: 6 ribbor 4 faces 5 till brytpunkter;
• hexaeder (kub) 12, 6, 8;
• dodekaeder 30, 12, 20;
• oktaedern 12, 8, 6;
• ikosaeder 30, 20, 12.

Eulers teorem

Den etablerar en relation mellan antalet kanter, hörn och ansikten är topologiskt ekvivalenta med en sfär. Addera antalet hörn och ansikten (B + D) har olika regelbundna polyhedra och jämföra dem med antalet ribbor, är det möjligt att ställa in en regel: summan av antalet ytor som är lika med antalet hörn och kanter (P) ökade med 2. Det är möjligt att härleda en enkel formel:

• B + D = P + 2.

Denna formel gäller för alla konvex polyhedra.

grundläggande definitioner

Begreppet en vanlig polyhedron är omöjligt att beskriva i en mening. Det är mer uppskattad och volym. Ett organ ska erkännas som sådan, är det nödvändigt att den uppfyller ett antal definitioner. Således kommer en geometrisk kropp vara en regelbunden polyeder när dessa villkor är uppfyllda:

• det är konvex;
• samma antal ribbor konvergerar vid vardera av dess hörn;
• alla aspekter av hans - regelbundna polygoner, lika varandra;
• Alla dihedrala vinklar är lika.

Egenskaper hos vanlig polyhedra

Det finns 5 olika typer av vanlig polyhedra:

1. Cube (hexaeder) - det har en platt spetsvinkel är 90 °. Den har en 3-sidig vinkel. Mängd ansikte vinklar vid spetsen av 270 °.
2. Tetraeder - platt toppvinkel - 60 °. Den har en 3-sidig vinkel. Mängd ansikte vinklar vid spetsen - 180 °.
3. Oktaeder - platt toppvinkel - 60 °. Den har en fyrsidig vinkel. Mängd ansikte vinklar vid spetsen - 240 °.
4. Dodekaeder - en platt toppvinkel av 108 °. Den har en 3-sidig vinkel. Mängd ansikte vinklar vid spetsen - 324 °.
5. Ikosaeder - det har en platt toppvinkel - 60 °. Den har en femsidig vinkel. Mängd ansikte vinklar vid spetsen av 300 °.

Området regelbundna polyhedra

Ytarean hos de geometriska kropparna (S) beräknas som en regelbunden polygon område multiplicerat med antalet fasetter (G):

• S = (a: 2) x 2G ctg π / s.

Volymen av en regelbunden polyeder

Detta värde beräknas genom att multiplicera volymen av en regelbunden pyramid vars bas är en regelbunden polygon, antalet ytor, och dess höjd är den inskrivna sfärens radie (r):

• V = 1: 3RS.

Volymerna regelbunden polyhedra

Precis som alla andra geometriska fasta, regelbundna polyhedra har olika volymer. Nedan finns formler som de kan beräkna:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• oktaeder: α x 3√2: 3;
• ikosaeder; α x 3;
• hexaeder (kub): a x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodekaeder: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Delar av regelbunden polyhedra

Hexahedron och oktaedern är dubbla geometriska kroppar. Med andra ord kan de komma ut ur varandra i händelse av att tyngdpunkten en tas som toppen av den andra och vice versa. är också dubbelt ikosaeder och dodecahedron. Själv bara tetrahedron är dubbel. Enligt metoden av Euklides kan erhållas från en dodekaeder hexaeder genom att konstruera "tak" i ansiktet på kuben. Det hörn av den tetraeder finns några 4 hörn av kuben, inte angränsande par längs kanten. Från hexahedron (kub) kan erhållas, och andra vanliga polyhedra. Trots att regelbundna polygoner Det finns otaliga, regelbundna polyhedra, det finns bara fem.

Den radier regelbundna polygoner

Med var och en av dessa geometriska kroppar är anslutna koncentriska sfärer 3:

• beskrivs som passerar genom toppunkterna;
• inskriven beträffande var och en av sina sidor i mitten av den;
• median om alla kanter i mitten.

Radien för den sfär som beskrivs av följande formel beräknas:

• R = en: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Radien av den inskrivna sfärens beräknas på följande sätt:

• R = en: 2 x ctg π / p x tg θ: 2,

där θ - tvåplansvinkel som är mellan angränsande fasetter.

Median radien hos sfären kan beräknas med användning av följande formel:

• ρ = a cos Tt / p: 2 sin π / h,

där h = storleken på 4,6, 6,10, eller 10. Förhållandet mellan radierna hos den inskrivna beskrivits och symmetriskt i förhållande till p och q. Det beräknas på följande sätt:

• R / r = tg π / p x tg π / q.

Symmetri polyhedra

Symmetrin av den regelbundna polyhedra är av primärt intresse för dessa geometriska kroppar. Det är underförstått som en rörelse av kroppen i rymden, som lämnar samma antalet hörn, ytor och kanter. Med andra ord, under påverkan av symmetri transformationer kant, bibehåller vertex, eller ansikte sitt ursprungliga läge, eller rör sig till utgångsläget för en annan ribba, de andra vertex eller ansikten.

Delar av symmetri av den ordinarie polyhedra är gemensamma för alla typer av geometriska fasta ämnen. Här sker på identitetstransformationen, som lämnar någon av punkterna i det ursprungliga läget. Så när du vrider polygonal prisma kan få några symmetrier. Någon av dem kan representeras som produkten av reflektion. Symmetri, vilket är resultatet av ett jämnt antal reflektioner, som kallas direkt. Om det är en produkt av ett udda antal reflektioner, då det kallas feedback. Således alla varv runt linjen representerar raka symmetri. Alla reflektion polyeder - är inversen symmetri.

För att bättre förstå symmetri delar av den ordinarie polyhedra, kan du ta exemplet med tetraedern. Varje linje som kommer att passera genom en av hörn och centrum av den geometriska formen, kommer att äga rum, och genom mitten av kanten mitt emot den. Vart och ett av varven 120 och 240 ° runt linjen tillhör plural tetraedrisk symmetri. Eftersom det 4 hörn och ansikten, får vi totalt åtta direkta symmetrier. Någon av de linjer som går genom mitten av kanterna och centrum av kroppen, passerar det genom mitten av den motsatta kanten. Varje rotation av 180 °, som kallas ett halvt varv runt en rak symmetri. Eftersom tetrahedron har tre par revben, du får tre rader av symmetri. Baserat på ovanstående, kan vi konstatera att det totala antalet direkta symmetri, och med identitets omvandling, kommer att vara upp till tolv. Andra direkta symmetri tetrahedron existerar inte, men det har 12 omvänd symmetri. Följaktligen kan endast 24 känne tetrahedron symmetrier. För tydlighetens skull kan vi bygga en modell av en regelbunden tetraeder gjord av kartong och se till att det är den geometriska kroppen har egentligen bara 24 symmetri.

Dodecahedron och ikosaeder - närmast kroppen området. Icosahedron har det största antalet ansikten den V-formade vinkeln och framför allt kan tätt hålla fast vid den inskrivna sfären. Dodekaeder har den lägsta vinkel defekten största rymdvinkel vid spetsen. Det kan maximera för att fylla i den omskrivna sfären.

avsöknings polyhedra

Regelbunden polyhedra scan, som vi alla sitter ihop i barndomen, har en hel del begrepp. Om det finns en uppsättning av polygoner, varje sida som identifierats med endast en sida av polyhedron måste identifieringen av parterna uppfyller två villkor:

• varje polygon, kan du gå till en polygon med identifieringen av sidan;
• identifierbar sidan bör ha samma längd.

Det är en uppsättning polygoner som uppfyller dessa villkor, och kallas en polyhedron scan. Var och en av dessa organ har flera av dem. Till exempel, en kub av vilka det finns 11 stycken.