Konvexa polygoner. Definition av en konvex polygon. Diagonaler en konvex polygon

Dessa geometriska former finns överallt omkring oss. Konvexa polygoner är naturliga, såsom en bikaka eller artificiella (konstgjorda). Dessa värden skall användas vid framställning av olika typer av beläggningar i konst, arkitektur, ornament, etc. Konvexa polygoner har egenskapen att deras punkter ligger på en sida av en rät linje som passerar genom paret av angränsande hörn av den geometriska figuren. Det finns andra definitioner. Det kallas den konvexa polygon, som är anordnad i ett enda halv-plan med avseende på vilken som helst rak linje innehållande en av dess sidor.

konvexa polygoner

Under loppet av elementär geometri alltid behandlas extremt enkla polygoner. För att förstå egenskaperna för geometriska former du behöver för att förstå deras natur. Till att börja förstå att sluten finns någon linje vars ändar är desamma. Och siffran som bildas av den, kan ha en mängd olika konfigurationer. Polygon kallas enkel sluten polyline vars angränsande enheter är inte ligger på en rät linje. Dess länkar och noder är respektive sidorna och toppar av den geometriska figuren. En enkel polyline får inte skära sig.

hörn av polygon kallas grannar om de är ändarna av en av dess sidor. En geometrisk figur, som har en n: te antalet hörn, och således den n: te antal parter som kallas n-gon. Själv streckade linjen är gränsen eller konturen av den geometriska figuren. Polygonal plan eller flat polygon kallas den sista delen av en plan, deras begränsade. Angränsande sidor av den geometriska figuren kallas polylinje segment som härrör från samma vertex. De kommer inte att grannar om de är baserade på olika hörn av polygon.

Andra definitioner av konvexa polygoner

I elementär geometri, det finns flera motsvarande innebörd definitioner indikerar vad som kallas en konvex polygon. Dessutom är alla dessa påståenden är lika sant. En konvex polygon är den som har:

• varje segment som förbinder två punkter inom det ligger helt i den;

• däri ligger alla dess diagonaler;

• varje interiör vinkel som inte är större än 180 °.

Polygon delar alltid planet i två delar. En av dem - den begränsade (det kan vara innesluten i en cirkel), och den andra - obegränsat. Den första kallas det inre området, och den andra - det yttre området av den geometriska figuren. Detta är skärningen av polygonen (med andra ord - den totala komponent) flera halvplan. Sålunda, varje segment har ändar vid punkter som tillhör en polygon tillhör helt till honom.

Sorter av konvexa polygoner

Definition konvex polygon inte tyder på att det finns många typer av dem. Och var och en av dem har vissa kriterier. Sålunda, de konvexa polygoner, som har en inre vinkel av 180 °, hänvisas till något konvex. Den konvexa geometrisk figur som har tre toppar, kallas en triangel, fyra - fyrsiding, fem - pentagon etc. Var och en av den konvexa n-hörningar uppfyller följande viktiga krav: .. N måste vara lika med eller större än 3. Var och en av trianglarna är konvex. Den geometriska figuren av denna typ där alla hörn är belägna på en cirkel, som kallas inskrivna cirkeln. Beskrivs konvex polygon kallas om alla dess sidor runt en cirkel för att röra vid henne. Två polygoner kallas lika endast i det fallet när man använder överlägget kan kombineras. Platt polygon kallas polygonal plan (ett plant parti) som denna begränsade geometrisk figur.

Regelbunden konvex månghörning

Regelbundna polygoner kallas geometriska former med lika vinklar och sidor. Inuti dem finns det en punkt 0, som är på samma avstånd från var och en av dess hörn. Det kallas i mitten av geometrisk figur. Linjer som förbinder centrum med hörn i den geometriska figuren kallas apothem, och de som ansluter punkten 0 med parterna - radier.

Korrekt rektangel - kvadrat. Liksidig triangel kallas liksidig. För sådana former finns följande regel: varje konvex polygon vinkeln är 180 ° * (n-2) / n,

där n - antalet hörn i den konvexa geometrisk figur.

Ytan för varje regelbunden polygon bestäms av formeln:

S = p * h,

där p är lika med halva summan av alla sidor av polygonen, och h är längden apothem.

Egenskaper konvexa polygoner

Konvex månghörning har vissa egenskaper. Sålunda, det segment som förbinder två godtyckliga punkter i en geometrisk figur, nödvändigtvis beläget i den. bevis:

Antag att P - den konvexa polygon. Ta två godtyckliga punkter, t ex A och B, som hör till P. Genom den nuvarande definitionen av en konvex polygon, dessa punkter är belägna på ena sidan av den räta linjen som innehåller någon riktning R. Följaktligen har AB också denna egenskap och är innesluten i R. En konvex polygon alltid kan delas upp i flera trianglar absolut alla diagonaler, som höll en av dess hörn.

Angles konvexa geometriska former

Vinklarna för en konvex polygon - är vinklar som bildas av parterna. Innerhörn är på insidan delen av geometriska figuren. Den vinkel som bildas av dess sidor, vilka konvergerar vid en spets, kallas vinkeln för den konvexa polygon. Hörn i omedelbar närhet till de inre hörnen av den geometriska figur, som kallas externa. Varje hörn av en konvex polygon, arrangerad inuti den, är:

180 ° - x

där x - värde utanför hörnet. Denna enkla formel kan tillämpas på alla typer av geometriska former sådana.

I allmänhet, för utvändiga hörn existerar följande regel: varje konvex polygon vinkel lika med skillnaden mellan 180 ° och värdet av den inre vinkeln. Det kan ha värden från -180 ° till 180 °. Följaktligen, när den inre vinkeln är 120 °, kommer utseendet att ha ett värde av 60 °.

Summan av vinklarna för konvexa polygoner

Summan av de inre vinklarna i en konvex polygon är etablerad av formeln:

180 ° * (n-2),

där n - antal hörn av n-gon.

Summan av vinklar av en konvex polygon beräknas helt enkelt. Behandla varje sådan geometrisk form. För att bestämma summan av vinklarna i en konvex polygon behöver ansluta en av sina hörn till andra hörn. Som ett resultat av denna åtgärd vänder (n-2) av triangeln. Är det känt att summan av vinklarna i en triangel är alltid 180 °. Eftersom deras antal i någon polygon equals (n-2), varvid summan av de inre vinklarna för figuren är lika med 180 ° x (n-2).

Uppgå konvexa polygon hörn, nämligen två intilliggande inre och yttre vinklar mot dem, i detta konvex geometrisk figur kommer alltid att vara lika med 180 °. På grundval av detta kan vi bestämma summan av alla hörn:

180 x n.

Summan av de inre vinklarna är 180 ° * (n-2). I enlighet därmed, summan av alla de yttre hörnen av figuren anges av formeln:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Summan av de yttre vinklar av något konvex polygon kommer alltid att vara lika med 360 ° (oavsett antalet av dess sidor).

Utanför hörnet av en konvex polygon är i allmänhet representeras av skillnaden mellan 180 ° och värdet på den inre vinkeln.

Andra egenskaper hos en konvex polygon

Förutom de grundläggande egenskaperna hos geometriska figurer uppgifter har de även andra, som förekommer vid hantering av dem. Således kan vilken som helst av polygoner delas upp i multipla konvex n-hörningar. För att göra detta, fortsätter att var och en av dess sidor och skär den geometriska formen längs dessa raka linjer. Split någon polygon i flera konvexa delar är möjligt och så att den övre delen av var och en av bitarna sammanfaller med alla dess hörn. Från en geometrisk figur kan vara mycket enkelt att göra trianglar genom alla diagonaler från en vertex. Sålunda, varje polygon, i slutändan, kan uppdelas i ett visst antal trianglar, som är mycket användbart för att lösa olika uppgifter i samband med sådana geometriska former.

Omkretsen av den konvexa polygon

De delar av polyline, polygon kallade parter, ofta anges med följande bokstäver: ab, bc, cd, de, EA. Denna sida av en geometrisk figur med hörn a, b, c, d, e. Summan av längderna av de sidor av en konvex polygon kallas dess omkrets.

Omkretsen på polygon

Konvex månghörning kan inmatas och beskrivits. Circle tangerar alla sidor geometrisk figur, som kallas inskrivna i den. Denna polygon kallas beskrivits. Mittcirkeln som är inskriven i polygonen är en skärningspunkt av bisectors av vinklar inom en given geometrisk form. Det område av polygon är lika med:

S = p * r,

där r - radien av den inskrivna cirkeln, och p - semiperimeter denna polygon.

En cirkel som innehåller polygonen vertex, kallas beskrivits nära den. Vidare kallas denna konvexa geometrisk figur inskriven. Cirkelcentrum, som beskrivs om en sådan polygon är en så kallad skärningspunkt midperpendiculars alla sidor.

Diagonala konvexa geometriska former

Diagonaler en konvex polygon - ett segment som inte förbinder angränsande hörn. Var och en av dem är inne i den här geometrisk figur. Antalet diagonaler av n-gon är inställd enligt formeln:

N = n (n - 3) / 2.

Antalet diagonaler av en konvex polygon spelar en viktig roll i elementär geometri. Antalet trianglar (K), som kan bryta varje konvex polygon, beräknas genom följande formel:

K = n - 2.

Antalet diagonaler av en konvex polygon är alltid beroende av antalet hörn.

Partition av en konvex polygon

I vissa fall, för att lösa geometriska uppgifter som är nödvändiga för att bryta en konvex polygon i flera trianglar med icke-korsande diagonaler. Detta problem kan lösas genom att ta bort en viss formel.

Definiera problemet: ringa rätt sorts delning av en konvex n-gon i flera trianglar av diagonaler som skär endast vid hörnen av en geometrisk figur.

Lösning: Antag att P1, P2, P3, ..., Pn - toppen av n-gon. Nummer Xn - det antal av dess partitioner. Noga överväga vilket diagonal geometrisk figur Pi Pn. I någon av de vanliga partitioner tillhör P1 Pn till en speciell triangel P1 Pi Pn, i vilka en

Låt i = 2 är en grupp av regelbundna partitioner, alltid innehåller diagonal P2 Pn. Antalet partitioner som ingår i det, som är lika med antalet partitioner (n-1) gon P2 P3 P4 ... Pn. Med andra ord är det lika med Xn-1.

Om i = 3, då de andra grupppartitionerna kommer alltid att innehålla en diagonal P3 P1 och P3 Pn. Antalet korrekta partitioner som finns i gruppen, kommer att sammanfalla med antalet partitioner (n-2) gon P3, P4 ... Pn. Med andra ord blir det Xn-2.

Låt i = 4, sedan trianglarna bland rätt partition är bunden för att innehålla en triangel P1 Pn P4, som kommer att angränsa fyrhörningen P1 P2 P3 P4, (n-3) gon P5 P4 ... Pn. Antalet korrekta partitioner sådana fyrsidiga lika X4, och antalet skiljeväggar (n-3) gon lika med Xn-3. Baserat på det ovanstående, kan vi säga att det totala antalet vanliga partitioner som ingår i denna grupp lika Xn-3 X4. Andra grupper, i vilken i = 4, 5, 6, 7 ... kommer att innehålla 4 Xn-X5, Xn-5 X6, Xn-6 ... X7 regelbundna partitioner.

Låt i = n-2, antalet korrekta partitioner i en given grupp kommer att sammanfalla med antalet partitioner i gruppen, i vilken i = 2 (med andra ord, är lika med Xn-1).

Eftersom X1 = X2 = 0, X3 = 1 och X4 = 2, ..., är antalet partitioner av konvex polygon:

Xn = xn-1 + xn-2 + xn-3, Xn-X4 + X5 + 4 ... + X 5 + 4 xn-xn-X 4 + 3 + 2 xn-xn-1.

exempel:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X4 + X5 + X4 + X5 = 14

X7 + X5 = X6 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X7 = X8 + X6 + X4 * X5 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Antalet korrekta partitioner skär inom en diagonal

Vid kontroll enskilda fall, kan det antas att antalet diagonaler av konvex n-hörning är lika med produkten av alla partitioner av det här diagrammet mönster (n-3).

Beviset för detta antagande: antar att P1n = Xn * (n-3), sedan någon n-gon kan uppdelas i (n-2) är en triangel. I detta fall en av dem kan staplas (n-3) -chetyrehugolnik. Samtidigt är varje fyrhörning diagonal. Eftersom denna konvexa geometrisk figur två diagonaler kan utföras, vilket innebär att i varje (n-3) -chetyrehugolnikah får utföra ytterligare diagonal (n-3). På grundval av detta kan vi dra slutsatsen att vid någon riktig partition har en möjlighet att (n-3) -diagonali som uppfyller kraven i denna uppgift.

Området konvexa polygoner

Ofta för att lösa olika problem med elementär geometri finns ett behov att bestämma området av en konvex polygon. Antag att (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n betecknar en sekvens av koordinater för alla angränsande hörn av polygon, som inte har några själv korsningar. I detta fall, är dess area beräknas med följande formel:

_{S = ½ (Σ (Xi} + Xi + ₁₎ (Y _{i +} Y _i + _1)),

vari (X _1, Y _{1) = (X n 1, Y} n + _1).