Gauss: exempel på lösningar och specialfall

Gauss metod, även kallad metoden för stegvis eliminering av okända variabler, uppkallad efter den framstående tysk vetenskapsman KF Gauss, medan fortfarande lever fick den inofficiella titeln "King of matematik." Emellertid har denna metod varit känd långt innan födelsen av den europeiska civilisationen, även i I-talet. BC. e. Urgamla kinesiska forskare har använt det i hans skrifter.

Gauss är ett klassiskt sätt att lösa system av linjära algebraiska ekvationer (Slough). Det är idealiskt för en snabb lösning på den begränsade storleken matriser.

Själva metoden består av två drag: framåt och bakåt. Direkt kurs kallas den sekvens som visas SLAE triangelform, dvs nollvärde under huvuddiagonalen. Indragning innebär konsekvent fynd variabler som uttrycker varje variabel genom tidigare.

Lär dig att tillämpa i praktiken är Gauss precis tillräckligt för att känna de grundläggande reglerna för multiplikation, addition och subtraktion med siffror.

För att demonstrera den algoritm för att lösa linjära system genom denna metod, förklarar vi ett exempel.

Så lösas med Gauss:

x + 2y + 4z = 3
2x + 6y + 11z = 6
4x-2y-2z = -6

Vi behöver den andra och tredje raden för att bli av variabeln x. Till detta lägger vi till honom första multiplicerat med -2 och -4, respektive. får vi:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-10y-18z = -18

Nu 2nd line multiplicera med 5 och lägg till den tredje:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-3Z = -18

Vi tog vårt system till en triangelform. Nu ska vi genomföra omvända. Vi börjar med den sista raden:
-3Z = -18,
z = 6.

Den andra raden:
2y + 3z = 0
2y + 18 = 0
2y = -18,
y = -9

Den första raden:
x + 2y + 4z = 3
x-18 + 24 = 3
x = 18-24 + 3
x = -3

Att ersätta värdena för variablerna i de ursprungliga uppgifterna, vi kontrollera riktigheten av beslutet.

Detta exempel kan lösas mycket andra ersättningar, men svaret är tänkt att vara densamma.

Det händer så att de ledande elementen i den första raden är anordnade med alltför små värden. Det är inte skrämmande, utan snarare komplicerar beräkningarna. Lösningen är att Gauss med svängbar på en kolonn. Dess väsen är som följer: den första raden av den maximala sökt modulo element, kolumnen där det ligger, byter plats med den 1: a kolumnen, det vill säga vår maximala del blir det första elementet i huvuddiagonalen. Nästa är en standard beräkningsprocess. Om det behövs, ändrar förfarandet kolumnerna på vissa ställen kan upprepas.

En annan version av metoden är metoden Gauss Gauss-Jordan.

Det används för att lösa linjära system kvadratisk, när den inversa matrisen av matrisen och rang (antal icke-noll linjer).

Det väsentliga i denna metod är att det ursprungliga systemet transformeras av förändringar i identitetsmatrisen med ytterligare finding variabler.

Algoritmen är att:

1. Systemet av ekvationer är, som i förfarandet enligt Gauss, en triangelform.

2. Varje linje är uppdelad i ett visst antal på ett sådant sätt att enheten har slagits på huvuddiagonalen.

3. Den sista raden multipliceras med ett visst antal och subtraheras från den näst sista för att inte komma på huvuddiagonalen 0.

4. Steg 3 upprepas sekventiellt för alla rader tills slutligen inte bilda enhetsmatrisen.